Основанием пирамиды \(DABC\) является правильный треугольник \(ABC\), сторона которого равна \(a\). Ребро \(DA\) перпендикулярно к плоскости \(ABC\), а плоскость \(DBC\) составляет с плоскостью \(ABC\) угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Логика такая: сначала определим длины всех боковых ребер пирамиды, затем найдем площади боковых граней, сложим их и получим площадь боковой поверхности.

1. Так как \(DA\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), то \(\triangle DAB\) и \(\triangle DAC\) — прямоугольные. \(AB = AC = a\). Значит, эти треугольники равны и \(DB = DC\).

2. Рассмотрим \(\triangle DBC\). Пусть \(DH\) — высота этого треугольника. Так как \(\triangle ABC\) — правильный, то \(H\) — середина \(BC\). Значит, \(AH\) перпендикулярно \(BC\). Угол между плоскостями \(DBC\) и \(ABC\) — это угол \(DHA\), и он равен 30°.

3. Из \(\triangle AHD\): \(AD = AH \cdot tg(30°) \). \(AH\) — высота правильного треугольника, значит, \(AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Тогда \(AD = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{2}\).

4. Из \(\triangle DAB\): \(DB = \sqrt{DA^2 + AB^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\). Значит, \(DC = \frac{a\sqrt{5}}{2}\).

5. Площадь \(\triangle ABC = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

6. Площадь \(\triangle DAB = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{4}\).

7. Площадь \(\triangle DAC = \frac{a^2}{4}\).

8. Площадь \(\triangle DBC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DH\). Из \(\triangle DAH\): \(DH = \frac{AH}{\cos 30°} = \frac{a\sqrt{3}}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} = a\). Тогда площадь \(\triangle DBC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}\).

9. Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = S_{DAB} + S_{DAC} + S_{DBC} = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2} = a^2\).

Ответ: \(a^2\)