Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С, у которого катет ВС равен 6, угол САВ равен 30°. Ребро AD перпендикулярно плоскости основания, ребро DC образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

• Шаг 1: Найдем сторону AC

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол CAB равен 30°, катет BC, противолежащий этому углу, равен 6. Используем тангенс угла CAB:

\[tg(30°) = \frac{BC}{AC}\]

\[AC = \frac{BC}{tg(30°)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}\]

• Шаг 2: Найдем сторону AB

Используем косинус угла CAB:

\[cos(30°) = \frac{AC}{AB}\]

\[AB = \frac{AC}{cos(30°)} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 12\]

• Шаг 3: Найдем площадь основания ABC

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}\]

• Шаг 4: Найдем высоту AD

Ребро DC образует с плоскостью основания угол 45°. Следовательно, треугольник ADC - прямоугольный и равнобедренный (угол DAC равен 90°, угол DCA равен 45°, значит, угол ADC тоже равен 45°). Поэтому AD = AC:

\[AD = AC = 6\sqrt{3}\]

• Шаг 5: Найдем площадь грани ADB

\[S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 36\sqrt{3}\]

• Шаг 6: Найдем сторону DC

Так как треугольник ADC равнобедренный, то:

\[DC = \frac{AC}{cos(45°)} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{6}\]

• Шаг 7: Найдем площадь грани BDC

\[S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{6} = 18\sqrt{6}\]

• Шаг 8: Найдем площадь полной поверхности пирамиды

Суммируем площади всех граней:

\[S_{полн} = S_{ABC} + S_{ADB} + S_{BDC} + S_{ADC} = 18\sqrt{3} + 36\sqrt{3} + 18\sqrt{6} + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD\]

\[S_{полн} = 18\sqrt{3} + 36\sqrt{3} + 18\sqrt{6} + \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} + 36\sqrt{3} + 18\sqrt{6} + 54 = 54 + 54\sqrt{3} + 18\sqrt{6}\]