Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза AB равна 29 см, а катет AC равен 21 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: 1. Найдем катет BC Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$BC^2 = AB^2 - AC^2$$ $$BC^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$$ $$BC = \sqrt{400} = 20$$ см. 2. Найдем площади боковых граней Так как DA перпендикулярно плоскости основания, то треугольники DAB и DAC - прямоугольные. * Площадь треугольника DAC: $$S_{DAC} = \frac{1}{2} cdot DA cdot AC = \frac{1}{2} cdot 20 cdot 21 = 210$$ см$$^2$$. * Площадь треугольника DAB: $$S_{DAB} = \frac{1}{2} cdot DA cdot AB = \frac{1}{2} cdot 20 cdot 29 = 290$$ см$$^2$$. * Найдем DB по теореме Пифагора из треугольника DAB: $$DB^2 = DA^2 + AB^2 = 20^2 + 29^2 = 400 + 841 = 1241$$ $$DB = \sqrt{1241}$$ * Найдем площадь треугольника DBC. Сначала найдем DC: $$DC^2 = DA^2 + AC^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$$ $$DC = \sqrt{841} = 29$$ Для нахождения площади треугольника DBC используем формулу Герона: $$p = \frac{DB + BC + DC}{2} = \frac{\sqrt{1241} + 20 + 29}{2} = \frac{\sqrt{1241} + 49}{2} \approx 42.55$$ $$S_{DBC} = \sqrt{p(p-DB)(p-BC)(p-DC)} = \sqrt{42.55(42.55-\sqrt{1241})(42.55-20)(42.55-29)} \approx \sqrt{42.55 cdot 7.35 cdot 22.55 cdot 13.55} \approx 326.73$$ см$$^2$$. 3. Площадь боковой поверхности пирамиды $$S_{бок} = S_{DAC} + S_{DAB} + S_{DBC} = 210 + 290 + 326.73 = 826.73$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 826.73 см$$^2$$.