3. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетом 5 см и прилежащим углом 30°. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды. 4. Основанием пирамиды ABCDM является равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС острым углом 30°, АВ = 8 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45° Найдите объем пирамиды.

Задание 3

Давай решим эту задачу вместе. Сначала разберемся с условием.

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом 5 см и прилежащим углом 30°. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Наша цель - найти объем пирамиды.

Решение:

1. Найдем второй катет прямоугольного треугольника.

Пусть данный катет (\(a\)) равен 5 см, а прилежащий угол равен 30°. Тогда второй катет (\(b\)) можно найти через тангенс угла:

\[\tan(30^\circ) = \frac{b}{a}\] \[b = a \cdot \tan(30^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см}\]

2. Найдем площадь основания пирамиды.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{25\sqrt{3}}{6} \text{ см}^2\]

3. Найдем высоту пирамиды.

Так как боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°, высота пирамиды равна половине гипотенузы основания. Сначала найдем гипотенузу (\(c\)) основания:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{25 + \frac{25 \cdot 3}{9}} = \sqrt{25 + \frac{25}{3}} = \sqrt{\frac{75+25}{3}} = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ см}\]

Высота пирамиды (\(h\)) равна половине гипотенузы, так как угол наклона 45°:

\[h = \frac{c}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см}\]

4. Найдем объем пирамиды.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3 \cdot 5}{6 \cdot 3} = \frac{375}{54} = \frac{125}{18} \text{ см}^3\]

Ответ: Объем пирамиды равен \(\frac{125}{18}\) см³.

---

Задание 4

Теперь перейдем ко второй задаче. Здесь основание пирамиды - равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC, острым углом 30° и боковой стороной AB = 8 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45°. И снова нужно найти объем пирамиды.

Решение:

1. Найдем высоту трапеции.

Проведем высоту BH к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABH угол BAH равен 30°, а AB = 8 см. Тогда:

\[BH = AB \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}\]

2. Найдем AH.

\[AH = AB \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}\]

3. Определим основания трапеции.

Пусть BC = x, тогда AD = x + 2AH = x + 8\sqrt{3}. Так как все боковые грани наклонены под углом 45°, высота пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в трапецию. Для равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон:

\[BC + AD = 2AB\] \[x + x + 8\sqrt{3} = 2 \cdot 8\] \[2x + 8\sqrt{3} = 16\] \[2x = 16 - 8\sqrt{3}\] \[x = 8 - 4\sqrt{3}\]

Тогда BC = 8 - 4\sqrt{3} см, AD = 8 - 4\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 8 + 4\sqrt{3} см.

4. Найдем площадь трапеции.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

\[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{8 - 4\sqrt{3} + 8 + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = \frac{16}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32 \text{ см}^2\]

5. Найдем радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции:

\[r = \frac{BH}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}\]

6. Найдем высоту пирамиды.

Так как боковые грани наклонены под углом 45°, высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности:

\[h = r = 2 \text{ см}\]

7. Найдем объем пирамиды.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 2 = \frac{64}{3} \text{ см}^3\]

Ответ: Объем пирамиды равен \(\frac{64}{3}\) см³.

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и все получится!