242. Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: 1. Определим параметры пирамиды. Пусть основание пирамиды – квадрат ABCD, а вершина пирамиды – точка S. Так как одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания, то пусть это будет ребро SA. Тогда SA – высота пирамиды. Также дано, что наибольшее боковое ребро равно 12 см. Так как основание – квадрат, а SA перпендикулярно основанию, то самое длинное ребро – это SC. 2. Определим угол наклона боковой грани. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Это означает, что угол между плоскостью SBC и плоскостью ABCD равен 45°. 3. Найдем высоту пирамиды SA. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAC, где SC = 12 см, и угол SCA является углом между SC и плоскостью основания, который связан с углом наклона боковой грани. Так как плоскость SBC наклонена под углом 45°, и SA перпендикулярна основанию, то $$\angle SCA = 45^{\circ}$$. Таким образом, треугольник SAC – прямоугольный и равнобедренный, следовательно, SA = AC. 4. Найдем сторону квадрата. В квадрате ABCD диагональ AC связана со стороной квадрата a соотношением $$AC = a\sqrt{2}$$. Так как SA = AC, то $$SA = a\sqrt{2}$$. 5. Используем теорему Пифагора для треугольника SAC: $$SA^2 + AC^2 = SC^2$$. Заменим AC на SA: $$SA^2 + SA^2 = 12^2$$, $$2SA^2 = 144$$, $$SA^2 = 72$$, $$SA = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$. Таким образом, высота пирамиды равна $$6\sqrt{2}$$ см. 6. Найдем сторону квадрата. Так как $$SA = a\sqrt{2}$$, то $$6\sqrt{2} = a\sqrt{2}$$, следовательно, $$a = 6$$ см. 7. Найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из двух прямоугольных треугольников (SAB и SAD) и треугольника SBC. Площадь каждого из прямоугольных треугольников равна $$\frac{1}{2} cdot SA cdot a = \frac{1}{2} cdot 6\sqrt{2} cdot 6 = 18\sqrt{2}$$. Площадь треугольника SBC сложнее найти напрямую. Заметим, что SB = SD. Поскольку SB = $$\sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$ и BC = 6, то высота SH к стороне BC будет гипотенузой прямоугольного треугольника, одним катетом которого будет половина BC, т.е. 3, а вторым катетом - SA. По теореме Пифагора SH = $$\sqrt{SA^2 + 3^2} = \sqrt{72+9} = \sqrt{81} = 9$$. Следовательно, площадь треугольника SBC равна $$\frac{1}{2} cdot BC cdot SH = \frac{1}{2} cdot 6 cdot 9 = 27$$. 8. Общая площадь боковой поверхности равна $$2 cdot 18\sqrt{2} + 27 = 36\sqrt{2} + 27 \approx 77.91 \text{ cm}^2$$. Ответ: a) Высота пирамиды: **$$6\sqrt{2}$$ см** b) Площадь боковой поверхности: **$$36\sqrt{2} + 27 \text{ cm}^2$$**