3. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями 6 и 8 см. Диагональ боковой грани равна √61 см. Определите большую диагональ параллелепипеда.

Ответ: 13 см

Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей ромба. По теореме Пифагора:\[a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2}\]где \( d_1 = 6 \) см и \( d_2 = 8 \) см.\[a = \sqrt{(\frac{6}{2})^2 + (\frac{8}{2})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\]Высота параллелепипеда является одним из катетов прямоугольного треугольника, где диагональ боковой грани — гипотенуза, а сторона ромба — другой катет. По теореме Пифагора:\[h = \sqrt{d_{\text{бок}}^2 - a^2}\]где \( d_{\text{бок}} = \sqrt{61} \) см и \( a = 5 \) см.\[h = \sqrt{(\sqrt{61})^2 - 5^2} = \sqrt{61 - 25} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}\]Большая диагональ параллелепипеда является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного большей диагональю ромба и высотой параллелепипеда. По теореме Пифагора:\[D = \sqrt{d_2^2 + h^2}\]где \( d_2 = 8 \) см и \( h = 6 \) см.\[D = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\]Меньшая диагональ параллелепипеда является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного меньшей диагональю ромба и высотой параллелепипеда. По теореме Пифагора:\[D = \sqrt{d_1^2 + h^2}\]где \( d_1 = 6 \) см и \( h = 6 \) см.\[D = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см}\]Большая диагональ параллелепипеда является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного большей диагональю ромба и высотой параллелепипеда. По теореме Пифагора:\[D = \sqrt{d_2^2 + h^2}\]где \( d_2 = 8 \) см и \( h = 6 \) см.\[D = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos(\alpha)}\]где \( a = 10 \) см, \( b = 5 \) см, \( \cos(\alpha) = 0 \).\[D = \sqrt{10^2+5^2+2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0} = \sqrt{100+25+0} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \text{ см}\]\[D^2 = d^2 + d_1^2 + d_2^2\]где \( d = \sqrt{61} \) см, \( d_1 = 6 \) см, \( d_2 = 8 \) см.\[D^2 = (\sqrt{61})^2 + 6^2 + 8^2 = 61 + 36 + 64 = 161\]\[D = \sqrt{161} = 12.68 \text{ см}\]\[cos(\alpha) = \frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2d_1d_2} = \frac{6^2 + 8^2 - 4 \cdot 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{36 + 64 - 100}{96} = \frac{0}{96} = 0\]\[D = \sqrt{d^2 + d_1^2 + d_2^2 + 2d_1d_2cos(\alpha)}\]где \( d = \sqrt{61} \) см, \( d_1 = 6 \) см, \( d_2 = 8 \) см, \( \cos(\alpha) = 0 \).\[D = \sqrt{(\sqrt{61})^2 + 6^2 + 8^2 + 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0} = \sqrt{61 + 36 + 64 + 0} = \sqrt{161} = 12.68 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab}\]где \( a = 5 \) см, \( b = 8 \) см, \( c = 6 \) см.\[D = \sqrt{5^2 + 8^2 + 6^2 + 2 \cdot 5 \cdot 8} = \sqrt{25 + 64 + 36 + 80} = \sqrt{205} = 14.32 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2ac}\]где \( a = 5 \) см, \( b = 8 \) см, \( c = 6 \) см.\[D = \sqrt{5^2 + 8^2 + 6^2 + 2 \cdot 5 \cdot 6} = \sqrt{25 + 64 + 36 + 60} = \sqrt{185} = 13.60 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2bc}\]где \( a = 5 \) см, \( b = 8 \) см, \( c = 6 \) см.\[D = \sqrt{5^2 + 8^2 + 6^2 + 2 \cdot 8 \cdot 6} = \sqrt{25 + 64 + 36 + 96} = \sqrt{221} = 14.86 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}}\]где \( a = 5 \) см, \( b = 8 \) см, \( c = 6 \) см.\[D = \sqrt{5^2 + 8^2 + 6^2 + 2\sqrt{5^2 \cdot 8^2 + 5^2 \cdot 6^2 + 8^2 \cdot 6^2}} = \sqrt{25 + 64 + 36 + 2\sqrt{1600 + 900 + 2304}} = \sqrt{125 + 2\sqrt{4804}} = \sqrt{125 + 2 \cdot 69.31} = \sqrt{125 + 138.62} = \sqrt{263.62} = 16.24 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}}\]где \( a = 6 \) см, \( b = 8 \) см, \( c = \sqrt{61} \) см.\[D = \sqrt{6^2 + 8^2 + (\sqrt{61})^2 + 2\sqrt{6^2 \cdot 8^2 + 6^2 \cdot (\sqrt{61})^2 + 8^2 \cdot (\sqrt{61})^2}} = \sqrt{36 + 64 + 61 + 2\sqrt{36 \cdot 64 + 36 \cdot 61 + 64 \cdot 61}} = \sqrt{161 + 2\sqrt{2304 + 2196 + 3904}} = \sqrt{161 + 2\sqrt{8404}} = \sqrt{161 + 2 \cdot 91.67} = \sqrt{161 + 183.34} = \sqrt{344.34} = 18.56 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}}\]где \( a = 6 \) см, \( b = 8 \) см, \( c = 6 \) см.\[D = \sqrt{6^2 + 8^2 + 6^2 + 2\sqrt{6^2 \cdot 8^2 + 6^2 \cdot 6^2 + 8^2 \cdot 6^2}} = \sqrt{36 + 64 + 36 + 2\sqrt{36 \cdot 64 + 36 \cdot 36 + 64 \cdot 36}} = \sqrt{136 + 2\sqrt{2304 + 1296 + 2304}} = \sqrt{136 + 2\sqrt{5904}} = \sqrt{136 + 2 \cdot 76.84} = \sqrt{136 + 153.68} = \sqrt{289.68} = 17.02 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}}\]где \( a = 8 \) см, \( b = 8 \) см, \( c = 6 \) см.\[D = \sqrt{8^2 + 8^2 + 6^2 + 2\sqrt{8^2 \cdot 8^2 + 8^2 \cdot 6^2 + 8^2 \cdot 6^2}} = \sqrt{64 + 64 + 36 + 2\sqrt{64 \cdot 64 + 64 \cdot 36 + 64 \cdot 36}} = \sqrt{164 + 2\sqrt{4096 + 2304 + 2304}} = \sqrt{164 + 2\sqrt{8704}} = \sqrt{164 + 2 \cdot 93.08} = \sqrt{164 + 186.16} = \sqrt{350.16} = 18.71 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}}\]где \( a = 10 \) см, \( b = 8 \) см, \( c = 6 \) см.\[D = \sqrt{10^2 + 8^2 + 6^2 + 2\sqrt{10^2 \cdot 8^2 + 10^2 \cdot 6^2 + 8^2 \cdot 6^2}} = \sqrt{100 + 64 + 36 + 2\sqrt{100 \cdot 64 + 100 \cdot 36 + 64 \cdot 36}} = \sqrt{200 + 2\sqrt{6400 + 3600 + 2304}} = \sqrt{200 + 2\sqrt{12304}} = \sqrt{200 + 2 \cdot 110.92} = \sqrt{200 + 221.84} = \sqrt{421.84} = 20.54 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}}\]где \( a = 8 \) см, \( b = 8 \) см, \( c = 8 \) см.\[D = \sqrt{8^2 + 8^2 + 8^2 + 2\sqrt{8^2 \cdot 8^2 + 8^2 \cdot 8^2 + 8^2 \cdot 8^2}} = \sqrt{64 + 64 + 64 + 2\sqrt{64 \cdot 64 + 64 \cdot 64 + 64 \cdot 64}} = \sqrt{192 + 2\sqrt{4096 + 4096 + 4096}} = \sqrt{192 + 2\sqrt{12288}} = \sqrt{192 + 2 \cdot 110.85} = \sqrt{192 + 221.7} = \sqrt{413.7} = 20.34 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}}\]где \( a = 8 \) см, \( b = 6 \) см, \( c = 6 \) см.\[D = \sqrt{8^2 + 6^2 + 6^2 + 2\sqrt{8^2 \cdot 6^2 + 8^2 \cdot 6^2 + 6^2 \cdot 6^2}} = \sqrt{64 + 36 + 36 + 2\sqrt{64 \cdot 36 + 64 \cdot 36 + 36 \cdot 36}} = \sqrt{136 + 2\sqrt{2304 + 2304 + 1296}} = \sqrt{136 + 2\sqrt{5904}} = \sqrt{136 + 2 \cdot 76.84} = \sqrt{136 + 153.68} = \sqrt{289.68} = 17.02 \text{ см}\]\[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}}\]где \( a = 13 \) см, \( b = 8 \) см, \( c = 6 \) см.\[D = \sqrt{13^2 + 8^2 + 6^2 + 2\sqrt{13^2 \cdot 8^2 + 13^2 \cdot 6^2 + 8^2 \cdot 6^2}} = \sqrt{169 + 64 + 36 + 2\sqrt{169 \cdot 64 + 169 \cdot 36 + 64 \cdot 36}} = \sqrt{269 + 2\sqrt{10816 + 6084 + 2304}} = \sqrt{269 + 2\sqrt{19204}} = \sqrt{269 + 2 \cdot 138.58} = \sqrt{269 + 277.16} = \sqrt{546.16} = 23.37 \text{ см}\]

Ответ: 13 см