3. Основанием прямой призми ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный △ ABC, в котором AB = BC = 5 cm, AC = 8см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите угал между прямыми AB₁ и BC₁. Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно найти угол между прямыми AB₁ и BC₁ в прямой призме. Сначала запишем, что нам дано: * AB = BC = 5 см * AC = 8 см * AA₁ = BB₁ = CC₁ = 12 см (боковое ребро призмы) Теперь давай подумаем, как найти угол между прямыми AB₁ и BC₁. Для начала рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, и мы знаем длины всех его сторон. Можно найти косинус угла ABC, используя теорему косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)\] \[8^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(\angle ABC)\] \[64 = 25 + 25 - 50 \cdot \cos(\angle ABC)\] \[64 = 50 - 50 \cdot \cos(\angle ABC)\] \[14 = -50 \cdot \cos(\angle ABC)\] \[\cos(\angle ABC) = -\frac{14}{50} = -\frac{7}{25}\] Теперь рассмотрим четырехугольник ABB₁A₁. Он является прямоугольником, так как призма прямая. Мы знаем, что AB = 5 см и AA₁ = 12 см. Можем найти длину AB₁ по теореме Пифагора: \[AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2\] \[AB_1^2 = 5^2 + 12^2\] \[AB_1^2 = 25 + 144\] \[AB_1^2 = 169\] \[AB_1 = 13 \text{ см}\] Аналогично, BC₁ = 13 см. Теперь рассмотрим треугольник AB₁C₁. В нем мы знаем, что AB₁ = BC₁ = 13 см. Также нам нужно найти длину A₁C₁. Так как AA₁CC₁ – прямоугольник, то A₁C₁ = AC = 8 см. Теперь можем найти косинус угла B₁AC₁ в треугольнике AB₁C₁, используя теорему косинусов: \[A_1C_1^2 = AB_1^2 + BC_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot BC_1 \cdot \cos(\angle AB_1C_1)\] \[8^2 = 13^2 + 13^2 - 2 \cdot 13 \cdot 13 \cdot \cos(\angle AB_1C_1)\] \[64 = 169 + 169 - 338 \cdot \cos(\angle AB_1C_1)\] \[64 = 338 - 338 \cdot \cos(\angle AB_1C_1)\] \[-274 = -338 \cdot \cos(\angle AB_1C_1)\] \[\cos(\angle AB_1C_1) = \frac{274}{338} = \frac{137}{169}\] Таким образом, угол между прямыми AB₁ и BC₁ равен \(\arccos(\frac{137}{169})\).

Ответ: \(\arccos(\frac{137}{169})\)