Основанием прямой призмы ABCА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом А и катетами АС=16 и АВ=30. Найдите угол между плоскостями ABC и А₁ВС, если АА₁=48.

1. Найдем длину гипотенузы BC треугольника ABC по теореме Пифагора: $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34$$.

2. Проведем высоту BH из точки B к прямой BC в плоскости А₁ВС. Так как призма прямая, AA₁ перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, AA₁ перпендикулярна AB и AC. Также, A₁B перпендикулярна AB и A₁C перпендикулярна AC.

3. Угол между плоскостями ABC и А₁ВС равен углу между прямой AB и плоскостью А₁ВС. Для нахождения этого угла, найдем длину высоты из точки A к BC в плоскости ABC. Площадь треугольника ABC равна $$\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 30 \times 16 = 240$$. Также площадь равна $$\frac{1}{2} \times BC \times h$$, где h - высота. $$h = \frac{2 \times 240}{34} = \frac{480}{34} = \frac{240}{17}$$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник АА₁В. Угол между плоскостями ABC и А₁ВС равен углу между прямой А₁В и плоскостью ABC. Найдем длину А₁В: $$A_1B = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{48^2 + 30^2} = \sqrt{2304 + 900} = \sqrt{3204}$$.

5. Угол между плоскостями ABC и А₁ВС равен углу между прямой А₁В и плоскостью ABC. Найдем синус этого угла. Проведем перпендикуляр из точки А₁ на плоскость ABC. Это будет точка А. Рассмотрим треугольник А₁АВ. Угол между плоскостями ABC и А₁ВС равен углу между прямой А₁В и плоскостью ABC. Найдем тангенс угла между плоскостями. Пусть угол между плоскостями равен $$\alpha$$. Тогда $$\tan(\alpha) = \frac{AA_1}{AB} = \frac{48}{30} = \frac{8}{5}$$.