Основанием прямой призмы ABCА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и катетами АС = 8 и АВ = 15. Найдите угол между плоскостями АА₁С₁С и АВС, если АА₁ = 30.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. По условию задачи, призма прямая, значит, боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, AA₁ ⊥ AC и AA₁ ⊥ AB.
2. Плоскость боковой грани АА₁С₁С содержит прямую АС.
3. Плоскость основания АВС содержит прямую АС.
4. Так как AA₁ ⊥ AC и AB ⊥ AC, то угол между плоскостями АА₁С₁С и АВС равен углу между прямыми AA₁ и AB.
5. Угол между AA₁ и AB — это угол ∠A₁AB.
6. В прямоугольном треугольнике АА₁В, по теореме Пифагора, найдем длину гипотенузы A₁B:

\( A_1B^2 = AA_1^2 + AB^2 \)

\( A_1B^2 = 30^2 + 15^2 \)

\( A_1B^2 = 900 + 225 \)

\( A_1B^2 = 1125 \)

\( A_1B = \sqrt{1125} = \sqrt{225 \cdot 5} = 15\sqrt{5} \)

Теперь найдем тангенс угла ∠A₁AB:

\( \tan(\angle A_1AB) = \frac{A_1A}{AB} = \frac{30}{15} = 2 \)

Угол между плоскостями равен арктангенсу 2.

\( \angle A_1AB = \arctan(2) \)

Ответ: \( \arctan(2) \)