1) Основанием прямой призмы ABCD A₁B₁C₁D₁ является параллелограмм со сторонами 4 см и 8 см и углом 60°. Диагональ BD призмы образует с пл-тью основания угол 30°. Найдите S бок. пов-ти. [96 см², если ∠BAD=60°] 2) Высота основания прав. 3-уг. пирамиды = 5 см, а двугр. угол при стороне основ-я =45°. S полн. - ? [\frac{25\sqrt{6}}{3} + \frac{25\sqrt{3}}{3} = \frac{25}{3}(\sqrt{6} + \sqrt{3})]

1) Основанием прямой призмы ABCD A₁B₁C₁D₁ является параллелограмм со сторонами 4 см и 8 см и углом 60°. Диагональ BD призмы образует с пл-тью основания угол 30°. Найдите S бок. пов-ти. [96 см², если ∠BAD=60°]

• Дано:

• ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямая призма,
• ABCD - параллелограмм,
• AB = 4 см,
• AD = 8 см,
• ∠BAD = 60°,
• ∠BDO = 30°.
• Найти: S бок. пов-ти

1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Найдем диагональ BD по теореме косинусов:

\[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cos(∠BAD)\] \[BD^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot cos(60°)\] \[BD^2 = 16 + 64 - 64 \cdot \frac{1}{2}\] \[BD^2 = 80 - 32 = 48\] \[BD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}\]

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDD₁. В нем ∠BDO = 30°. Найдем высоту призмы DD₁:

\[tg(∠BDO) = \frac{DD_1}{BD}\] \[tg(30°) = \frac{DD_1}{4\sqrt{3}}\] \[\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{DD_1}{4\sqrt{3}}\] \[DD_1 = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4 \text{ см}\]

3. Найдем площадь параллелограмма ABCD:

\[S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot sin(∠BAD)\] \[S_{ABCD} = 4 \cdot 8 \cdot sin(60°) = 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2\]

4. Найдем периметр параллелограмма ABCD:

\[P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(4 + 8) = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см}\]

5. Найдем площадь боковой поверхности призмы:

\[S_{бок} = P_{ABCD} \cdot DD_1 = 24 \cdot 4 = 96 \text{ см}^2\]

Ответ: 96 см²

2) Высота основания прав. 3-уг. пирамиды = 5 см, а двугр. угол при стороне основ-я =45°. S полн. - ? [\frac{25\sqrt{6}}{3} + \frac{25\sqrt{3}}{3} = \frac{25}{3}(\sqrt{6} + \sqrt{3})]

• Дано:

• Правильная треугольная пирамида,
• h основания = 5 см,
• Двугранный угол при стороне основания = 45°.
• Найти: S полн.

1. Найдем сторону основания а. Т.к. высота правильного треугольника равна:

\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] \[a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 5}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ см}\]

2. Найдем площадь основания:

\[S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\frac{10\sqrt{3}}{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{100 \cdot 3}{9} \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{12} = \frac{25\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2\]

3. Найдем апофему l. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и высотой основания. Угол между апофемой и высотой основания равен 45°:

\[tg(45°) = \frac{H}{h}\] Т.к. пирамида правильная, то высота основания, проведенная к стороне, является проекцией апофемы на основание. H - высота пирамиды \[1 = \frac{H}{5}\] \[H = 5 \text{ см}\] \[l = \sqrt{H^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ см}\]

4. Найдем площадь боковой поверхности:

\[S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{6} \text{ см}^2\]

5. Найдем площадь полной поверхности:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{25\sqrt{3}}{3} + 25\sqrt{6} = \frac{25\sqrt{3} + 75\sqrt{6}}{3} \text{ см}^2\]

Ответ: \(\frac{25\sqrt{3} + 75\sqrt{6}}{3}\) см²