Основанием прямой призмы ABCDABCD, яв-ляется параллелограмм АВСD со сторонами 4 см и 8 см, угол BAD равен 60°. Диагональ В, В образует с плоскостью основания угол, равный 30°. Вычислите площадь боковой поверхности призмы. Ответ дайте в квадратных сантиметрах без указания единиц измерения

Решение:

• Найдем периметр основания:

\[P = 2(a+b) = 2(4+8) = 2 \cdot 12 = 24\]

• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю \(B_1D\), ее проекцией на плоскость основания \(BD\) и высотой призмы \(BB_1\). Угол между диагональю и плоскостью основания равен 30 градусам.

Следовательно, \[\tan 30^\circ = \frac{BB_1}{BD}\]

• Найдем диагональ \(BD\) параллелограмма по теореме косинусов:

\[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos BAD\] \[BD^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ\] \[BD^2 = 16 + 64 - 64 \cdot \frac{1}{2} = 80 - 32 = 48\] \[BD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]

• Теперь найдем высоту призмы \(BB_1\):

\[\tan 30^\circ = \frac{BB_1}{BD}\] \[BB_1 = BD \cdot \tan 30^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\]

• Вычислим площадь боковой поверхности призмы:

\[S_{бок} = P \cdot BB_1 = 24 \cdot 8 = 96\cdot 2 = 192\]