Основанием прямой призмы ABCKLN является равнобедренный треугольник. Площадь грани AKLB равна $$22\sqrt{3}$$ см², угол ACB = 120°, AC = CB = 12 см. Вычисли площадь основания и высоту призмы.

Для решения данной задачи, нам потребуется знание формул площади треугольника и площади прямоугольника, а также умение работать с тригонометрическими функциями.

1. Найдем площадь основания призмы (треугольника ABC):

Площадь треугольника можно найти по формуле:

$$S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$$

где a и b - стороны треугольника, \(\gamma\) - угол между ними.

В нашем случае a = AC = 12 см, b = CB = 12 см, \(\gamma\) = угол ACB = 120°.

Тогда площадь треугольника ABC будет равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ)$$

Так как $$sin(120^\circ) = sin(180^\circ - 60^\circ) = sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, то:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2$$

2. Найдем высоту призмы:

Площадь боковой грани AKLB известна и равна $$22\sqrt{3}$$ см². Эта грань представляет собой прямоугольник.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

$$S = a \cdot h$$

где a - сторона прямоугольника (в нашем случае AK или BL, которые равны высоте призмы), h - другая сторона прямоугольника (в нашем случае AB).

Найдем сторону AB треугольника ABC по теореме косинусов:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)$$

Так как $$cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$$, то:

$$AB^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot (-\frac{1}{2}) = 144 + 144 + 144 = 432$$ $$AB = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3} \text{ см}$$

Теперь, когда мы знаем AB и площадь прямоугольника AKLB, можем найти высоту призмы:

$$S_{AKLB} = AB \cdot h$$ $$22\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \cdot h$$ $$h = \frac{22\sqrt{3}}{12\sqrt{3}} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6} \text{ см}$$

Ответ:

Площадь основания призмы: $$36\sqrt{3}$$ см²

Высота призмы: $$\frac{11}{6}$$ см