Основанием прямой призмы ABCKLN является равнобедренный треугольник. Площадь грани AKLB равна 34√3 см², угол АСВ = 120°, AC = CB = 18 см. Вычисли площадь основания и высоту призмы.

Решение

• 1. Находим площадь основания (треугольник ABC):
• Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:
• \[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB \cdot \sin(\angle ACB) \]
• Подставляем значения:
• \[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 18 \text{ см} \cdot 18 \text{ см} \cdot \sin(120^{\circ}) \]
• \[ \sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
• \[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{324 \sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
• 2. Находим высоту призмы:
• Площадь боковой грани AKLB равна произведению стороны основания (AB) на высоту призмы (h).
• Нам дана площадь грани AKLB = 34√3 см².
• Сначала найдем длину стороны AB по теореме косинусов в треугольнике ABC:
• \[ AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos(\angle ACB) \]
• \[ AB^2 = 18^2 + 18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 18 \cdot \cos(120^{\circ}) \]
• \[ \cos(120^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -\frac{1}{2} \]
• \[ AB^2 = 324 + 324 - 2 \cdot 324 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 648 + 324 = 972 \]
• \[ AB = \sqrt{972} = \sqrt{324 \cdot 3} = 18\sqrt{3} \text{ см} \]
• Теперь найдем высоту призмы (h):
• \[ S_{AKLB} = AB \cdot h \]
• \[ 34\sqrt{3} \text{ см}^2 = 18\sqrt{3} \text{ см} \cdot h \]
• \[ h = \frac{34\sqrt{3}}{18\sqrt{3}} = \frac{34}{18} = \frac{17}{9} \text{ см} \]

Ответ:

площадь основания призмы равна 81√3 см²

(если в ответе корней нет, то под корнем пиши 1).

Высота призмы равна 17/9 см

(в ответе напиши сокращённую дробь).