Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и катетами АС = 3 и АВ = 4. Найдите угол между плоскостями АВС и АВС1, если АА1 = 9.

1. Определим векторы, принадлежащие плоскостям. Вектор нормали к плоскости ABC - $$\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$$. Вектор нормали к плоскости ABC1 можно найти, взяв два неколлинеарных вектора в плоскости, например, $$\vec{AB} = (4, 0, 0)$$ и $$\vec{AA_1} = (0, 0, 9)$$. Тогда $$\vec{n}_{ABC_1} = \vec{AB} \times \vec{AA_1} = (0, 0, 0)$$. Это неверно, так как векторы лежат на одной оси. Возьмем $$\vec{AC} = (0, 3, 0)$$ и $$\vec{AA_1} = (0, 0, 9)$$. Тогда $$\vec{n}_{ABC_1} = \vec{AC} \times \vec{AA_1} = (27, 0, 0)$$.
2. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Косинус угла между нормалями $$\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$$ и $$\vec{n}_{ABC_1} = (27, 0, 0)$$ равен $$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{ABC_1}|}{|\vec{n}_{ABC}| |\vec{n}_{ABC_1}|} = \frac{|(0)(27) + (0)(0) + (1)(0)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \sqrt{27^2+0^2+0^2}} = \frac{0}{1 \cdot 27} = 0$$.
3. Следовательно, угол между плоскостями равен $$\alpha = \arccos(0) = 90^{\circ}$$.