Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD =10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Дано:

• Трапеция ABCD
• BC = 5
• AD = 20
• BD = 10

Доказать:

• △ CBD ~ △ BDA

Доказательство:

1. Свойства трапеции: В трапеции основания параллельны (BC || AD).
2. Признак подобия треугольников по двум углам: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
3. Рассмотрим △ CBD и △ BDA.
4. Углы при параллельных прямых:
• Диагональ BD является секущей для параллельных прямых BC и AD.
• Следовательно, накрест лежащие углы ∠ CBD и ∠ BDA равны.
• \[ \angle CBD = \angle BDA \]
5. Вертикальные углы: Углы ∠ BCD и ∠ DAB не обязательно равны. Однако, углы ∠ BCD и ∠ DAB не участвуют в подобии.
6. Углы при секущей BD:
• Также, диагональ BD является секущей.
• Угол ∠ ADB и ∠ DBC являются накрест лежащими при параллельных BC и AD и секущей BD.
• \[ \angle ADB = \angle DBC \]
7. Соотношение сторон:
• Рассмотрим соотношение сторон, прилежащих к равным углам.
• \[ \frac{BC}{AD} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
• \[ \frac{BD}{DA} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \]
• \[ \frac{CD}{BA} \] - неизвестно.
8. Повторное рассмотрение углов:
• У нас есть равенство ∠ CBD = ∠ BDA.
• Теперь нужно найти второй равный угол.
• Рассмотрим углы ∠ BDC и ∠ ABD. Они также являются накрест лежащими при параллельных BC и AD и секущей BD.
• \[ \angle BDC = \angle ABD \]
9. Применение признака подобия:
• В △ CBD и △ BDA:
• ∠ CBD = ∠ BDA (накрест лежащие углы при BC || AD и секущей BD).
• ∠ BDC = ∠ ABD (накрест лежащие углы при BC || AD и секущей BD).
• Следовательно, по двум углам, △ CBD ~ △ BDA.

Что и требовалось доказать.