Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Пусть ABCD - данная равнобедренная трапеция, BC=8, AD=18 - основания, P=56 - периметр.
2. Боковые стороны AB и CD равны. Обозначим их длину как x. Тогда периметр равен:

$$P = BC + AD + AB + CD = 8 + 18 + x + x = 26 + 2x$$

1. Так как P=56, то

$$56 = 26 + 2x$$

$$2x = 30$$

$$x = 15$$

1. Боковая сторона равна 15.
2. Проведем высоты BH и CK. Тогда AH = KD = (AD - BC)/2 = (18 - 8)/2 = 5.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

$$AH^2 + BH^2 = AB^2$$

$$5^2 + BH^2 = 15^2$$

$$25 + BH^2 = 225$$

$$BH^2 = 200$$

$$BH = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$

1. Высота трапеции равна $$10\sqrt{2}$$.
2. Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{8 + 18}{2} \cdot 10\sqrt{2} = \frac{26}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 13 \cdot 10\sqrt{2} = 130\sqrt{2}$$

Ответ: $$130\sqrt{2}$$