Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 88, боковая сторона равна 34. Найдите длину диагонали трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, где $$AD = 88$$ и $$BC = 56$$ – основания, $$AB = CD = 34$$ – боковые стороны. Необходимо найти длину диагонали $$AC$$. 1. **Проведем высоты $$BH$$ и $$CK$$ из вершин $$B$$ и $$C$$ на основание $$AD$$.** Так как трапеция равнобедренная, то $$AH = KD$$. 2. **Найдем длину отрезка $$AH$$.** $$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{88 - 56}{2} = \frac{32}{2} = 16$$. 3. **Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$.** По теореме Пифагора: $$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 34^2 - 16^2 = 1156 - 256 = 900$$. $$BH = \sqrt{900} = 30$$. 4. **Найдем длину отрезка $$HD$$.** $$HD = KD + AD - KD = AD - AH = 88 - 16 = 72$$ 5. **Найдем длину отрезка $$AH + BC$$.** $$AH + BC = 16 + 56 = 72$$. 6. **Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой из вершины C на сторону AD.** $$KD = AH = 16$$ 7. **Найдем длину $$AK = AD - KD = 88 - 16 = 72$$.** 8. **Рассмотрим треугольник $$ACK$$ (прямоугольный).** Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACK$$, где $$CK = BH = 30$$, а $$AK = 56 + 16 = 72$$. По теореме Пифагора: $$AC^2 = AK^2 + CK^2 = 72^2 + 30^2 = 5184 + 900 = 6084$$. $$AC = \sqrt{6084} = 78$$. **Ответ: Длина диагонали трапеции равна 78.**