Основания равнобедренной трапеции равны 16 см и 4 см. Вычисли радиус окружности, вписанной в трапецию. (Если необходимо, ответ округли до десятых.)

Решение:

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, сумма противоположных сторон должна быть равна. В равнобедренной трапеции это условие выполняется, если сумма оснований равна удвоенной боковой стороне. Однако, для вписанной окружности в трапецию, радиус можно найти, если известны основания и высота, так как радиус равен половине высоты.

Пусть основания трапеции равны \( a = 16 \text{ см} \) и \( b = 4 \text{ см} \). Пусть \( r \) — радиус вписанной окружности, а \( h \) — высота трапеции. Тогда \( r = \frac{h}{2} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком, равным полуразности оснований. Полуразность оснований равна \( \frac{a - b}{2} = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см.

Для того чтобы найти высоту \( h \), нам необходимо найти боковую сторону \( c \). Условие вписанной окружности в трапецию гласит, что \( a + b = 2c \), откуда \( c = \frac{a + b}{2} \).

\( c = \frac{16 + 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) см.

Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, найдём высоту \( h \):

\[ c^2 = \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 + h^2 \]

\[ 10^2 = 6^2 + h^2 \]

\[ 100 = 36 + h^2 \]

\[ h^2 = 100 - 36 \]

\[ h^2 = 64 \]

\[ h = \(\sqrt{64}\) = 8 \) см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\[ r = \(\frac{h}{2}\) = \(\frac{8}{2}\) = 4 \) см.

Ответ: 4 см.