Основания равнобедренной трапеции равны 18 см и 2 см. Вычисли радиус окружности, вписанной в трапецию.

Пусть основания трапеции равны $$a=18$$ см и $$b=2$$ см. В равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон: $$a+b = 2c$$, где $$c$$ - длина боковой стороны. Следовательно, $$18+2 = 2c$$, откуда $$c = 10$$ см.

Высота трапеции $$h$$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $$h=2r$$. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Она разделит большее основание на отрезки длиной $$\frac{a-b}{2}$$ и $$b + \frac{a-b}{2}$$. В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и отрезком большего основания, имеем: $$c^2 = h^2 + (\frac{a-b}{2})^2$$.

$$10^2 = h^2 + (\frac{18-2}{2})^2 \rightarrow 100 = h^2 + 8^2 \rightarrow 100 = h^2 + 64 \rightarrow h^2 = 36 \rightarrow h = 6$$ см. Радиус окружности $$r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ см.