Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 24, а один из углов угол равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{a+b}{2}h \), где \( a \) и \( b \) — основания, а \( h \) — высота.

1. Основания трапеции: \( a = 4 \), \( b = 24 \).
2. Угол при основании равен \( 135^{\circ} \). Этот угол тупой, значит, нам нужно найти высоту, опущенную из вершины тупого угла.
3. Опустим высоту \( h \) из вершины угла \( 135^{\circ} \) на большее основание. Образуется прямоугольный треугольник. Угол при большем основании трапеции будет \( 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \) (так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \( 180^{\circ} \)).
4. Следовательно, второй острый угол в этом прямоугольном треугольнике тоже равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Это означает, что треугольник равнобедренный, и отрезок от вершины трапеции до основания высоты равен высоте: \( h = x \).
5. Боковая сторона трапеции равна \( x \).
6. Разность между основаниями равна \( 24 - 4 = 20 \). Эта разность делится поровну на два отрезка по краям от меньшего основания. То есть, \( x + x = 20 \), откуда \( 2x = 20 \), значит \( x = 10 \).
7. Высота трапеции \( h = 10 \).
8. Вычислим площадь: \( S = \frac{4+24}{2} \cdot 10 = \frac{28}{2} \cdot 10 = 14 \cdot 10 = 140 \).

Ответ: 140.