Основания равнобедренной трапеции равны 8 см и 2 см. Вычисли радиус окружности, вписанной в трапецию.

Пусть основания трапеции равны $$a=8$$ см и $$b=2$$ см. Высота трапеции $$h$$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $$h=2r$$. В равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, выполняется условие: сумма оснований равна сумме боковых сторон, т.е. $$a+b = 2c$$, где $$c$$ - боковая сторона. Следовательно, $$8+2 = 2c$$, откуда $$c=5$$ см. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c=5$$ см и катетами $$h$$ и $$rac{a-b}{2} = rac{8-2}{2} = 3$$ см. По теореме Пифагора: $$h^2 + 3^2 = 5^2$$, $$h^2 + 9 = 25$$, $$h^2 = 16$$, $$h=4$$ см. Так как $$h=2r$$, то $$2r=4$$ см, следовательно, $$r=2$$ см.