Основания равнобокой трапеции относятся как 2 : 5, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите стороны трапеции, если её периметр равен 68 см.

Обозначим основания трапеции через \(2x\) и \(5x\), а боковую сторону — через \(l\). У равнобокой трапеции обе боковые стороны равны.

Опустим высоты от концов меньшего основания. Разность оснований делится пополам, поэтому горизонтальный отрезок у каждой боковой стороны равен \((5x-2x)/2=1.5x\).

Рассмотрим диагональ, которая делит тупой угол пополам. По теореме о биссектрисе направления диагонали и сторон угла получаем, что её горизонтальная составляющая равна \(3.5x\), а у боковой стороны — \(1.5x\). Условие равенства углов даёт \(3.5x=l-1.5x\), откуда \(l=5x\).

Тогда периметр: \(2x+5x+2\cdot5x=17x\). Следовательно, \(17x=68\), значит, \(x=4\).

Ответ: основания 8 см и 20 см; боковые стороны по 20 см.