Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 27 см, а диагональ — 45 см. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи нам понадобятся знания о свойствах равнобокой трапеции и теорема Пифагора.

1. Обозначения:

   • Пусть ABCD – данная равнобокая трапеция, где AD и BC – основания, AD = 27 см, BC = 9 см, AC = 45 см (диагональ).
   • Проведём высоты BH и CF к основанию AD.
   • Обозначим AH = FD = x (так как трапеция равнобокая).

2. Найдем AH (x):

   Так как AD = AH + HF + FD, и HF = BC, то 27 = x + 9 + x. Отсюда 2x = 27 - 9 = 18, следовательно, x = 9 см.

3. Найдем высоту BH (h):

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

   $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

   Нам нужно найти BH. Но мы не знаем AB. Заметим, что диагональ AC = 45 см, и рассмотрим прямоугольный треугольник AFC, где AF = AD - FD = 27 - 9 = 18 см.

   Тогда по теореме Пифагора для треугольника AFC:

   $$AC^2 = AF^2 + CF^2$$ $$45^2 = 18^2 + h^2$$ $$2025 = 324 + h^2$$ $$h^2 = 2025 - 324 = 1701$$ $$h = \sqrt{1701} = \sqrt{81 \cdot 21} = 9\sqrt{21}$$

   Итак, высота трапеции ( h = 9sqrt{21} ) см.

4. Найдем площадь трапеции:

   Площадь трапеции вычисляется по формуле:

   $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$$

   Подставляем известные значения:

   $$S = \frac{9 + 27}{2} \cdot 9\sqrt{21} = \frac{36}{2} \cdot 9\sqrt{21} = 18 \cdot 9\sqrt{21} = 162\sqrt{21}$$

Ответ: Площадь трапеции равна ( 162\sqrt{21} ) см².