105. Основания трапеции равны 1 и 7, одна из боковых сторон равна 23√3, а угол между ней и одним из оснований равен 120°. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC = 1, AD = 7, AB = 23√3, ∠BAD = 120°. Проведём высоту BH к основанию AD. Тогда в прямоугольном треугольнике ABH угол BAH = 120° - 90° = 30°.

Найдём AH: AH = AB * cos(30°) = 23√3 * (√3 / 2) = (23 * 3) / 2 = 69/2 = 34.5

Найдём BH: BH = AB * sin(30°) = 23√3 * (1/2) = (23√3) / 2

Площадь трапеции ABCD = ((BC + AD) / 2) * BH = ((1 + 7) / 2) * (23√3 / 2) = (8 / 2) * (23√3 / 2) = 4 * (23√3 / 2) = 2 * 23√3 = 46√3

$$
S = \frac{a+b}{2} \cdot h
$$
$$
AH = AB \cdot \cos 30^\circ = 23\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{23 \cdot 3}{2} = \frac{69}{2} = 34.5
$$
$$
BH = AB \cdot \sin 30^\circ = 23\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{23\sqrt{3}}{2}
$$
$$
S = \frac{1+7}{2} \cdot \frac{23\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{23\sqrt{3}}{2} = 46\sqrt{3}
$$

Ответ: 46√3