Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 4\(\sqrt{2}\), а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Дано: трапеция ABCD, AB = 12, CD = 18, BC = 4\(\sqrt{2}\), \(\angle BCD = 135^\circ\). Найти: S.

Проведем высоту BH из вершины B к основанию CD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Угол \(\angle BCH = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\).

Так как \(\angle BCH = 45^\circ\) и \(\angle BHC = 90^\circ\), то \(\angle HBC = 45^\circ\). Следовательно, треугольник BHC — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Пусть BH = HC = h.

По теореме Пифагора в \(\triangle BHC\): \(BH^2 + HC^2 = BC^2\).

\[ h^2 + h^2 = (4\sqrt{2})^2 \]

\[ 2h^2 = 16 \cdot 2 \]

\[ 2h^2 = 32 \]

\[ h^2 = 16 \]

\[ h = 4 \]

Значит, высота трапеции равна 4.

Основание AD = 12, основание CD = 18. Площадь трапеции находится по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

\[ S = \frac{12 + 18}{2} \cdot 4 \]

\[ S = \frac{30}{2} \cdot 4 \]

\[ S = 15 \cdot 4 \]

\[ S = 60 \]

Ответ: 60