Основания трапеции равны 4 и 9, а диагонали этой трапеции равны 7 и 8. Найдите, под каким углом пересекаются диагонали.

Расположим основание длины 9 горизонтально, а параллельное ему основание длины 4 — выше. Пусть векторы диагоналей — \(\vec u\) и \(\vec v\). Их горизонтальные составляющие отличаются на сумму оснований, поэтому \(|\vec u-\vec v|=9+4=13\).

Используем формулу \(|\vec u-\vec v|^2=|\vec u|^2+|\vec v|^2-2\vec u\cdot\vec v\):

\(\vec u\cdot\vec v=\dfrac{7^2+8^2-13^2}{2}=-28.\)

Косинус угла между направленными векторами диагоналей равен \(\dfrac{-28}{7\cdot8}=-\dfrac12\), значит этот угол — \(120^\circ\). Угол между пересекающимися прямыми обычно берут меньший из образованных углов, поэтому он равен \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

Ответ: диагонали пересекаются под углом \(60^\circ\) (второй угол равен \(120^\circ\)).