Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и BD=14. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Решение:

Для доказательства подобия треугольников \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \) нам нужно найти два равных угла в этих треугольниках.

1. Рассмотрим трапецию ABCD, где BC || AD.
2. Угол \( \angle CBD \) и \( \angle BDA \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, \( \angle CBD = \angle BDA \).
3. Угол \( \angle BCD \) и \( \angle DAB \) являются углами при основании трапеции.
4. Угол \( \angle CAD \) и \( \angle ACB \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, \( \angle CAD = \angle ACB \).
5. Углы \( \angle BDA \) и \( \angle CBD \) равны.
6. Углы \( \angle ADB \) и \( \angle DBC \) равны как накрест лежащие углы при параллельных основаниях BC и AD и секущей BD.
7. Рассмотрим треугольники \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \).
8. У них есть общий угол \( \angle D \) (он же \( \angle ADB \) и \( \angle CDB \)).
9. Так как BC || AD, то \( \angle DBC = \angle BDA \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD).
10. Таким образом, у треугольников \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \) есть два равных угла: \( \angle DBC = \angle BDA \) и \( \angle CDB = \angle ADB \) (или \( \angle ADC \)).
11. По двум углам \( \triangle CBD \) подобен \( \triangle BDA \).

Доказано.