Остап Бендер проводит сеанс одновременной игры с любителями шахмат города Васюки на 7 досках. Перед началом с помощью жребия игроки определяют, кто играет белыми, а кто — чёрными на каждой из семи досок. Во сколько раз вероятность события «Остап будет играть белыми на 4 досках» больше вероятности события «Остап будет играть белыми на 6 досках»?

Пошаговое решение:

1. Вероятность для 4 досок

   Вероятность того, что Остап будет играть белыми на каждой доске, равна \( p = \frac{1}{2} \). Вероятность того, что он будет играть черными, также равна \( q = \frac{1}{2} \).

   Используем формулу Бернулли: \( P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где \( n \) — количество досок, \( k \) — количество успехов (игры белыми), \( C_n^k \) — биномиальный коэффициент.

   Для 4 досок: \( P(4) = C_7^4 \cdot (\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{2})^{7-4} \)

   \( C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \)

   \( P(4) = 35 \cdot (\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 35 \cdot (\frac{1}{2})^7 = \frac{35}{128} \)

2. Вероятность для 6 досок

   Для 6 досок: \( P(6) = C_7^6 \cdot (\frac{1}{2})^6 \cdot (\frac{1}{2})^{7-6} \)

   \( C_7^6 = \frac{7!}{6!(7-6)!} = \frac{7!}{6!1!} = 7 \)

   \( P(6) = 7 \cdot (\frac{1}{2})^6 \cdot (\frac{1}{2})^1 = 7 \cdot (\frac{1}{2})^7 = \frac{7}{128} \)

3. Отношение вероятностей

   Нужно найти, во сколько раз \( P(4) \) больше \( P(6) \): \( \frac{P(4)}{P(6)} = \frac{\frac{35}{128}}{\frac{7}{128}} = \frac{35}{7} = 5 \)

Ответ: в 5 раз.