6. Остаток после п-го члена ряда ∑∞n=1 1/n³ оценивается интегралом от п до ∞ от 1/x³ dx. При каком п остаток станет меньше 10-6?

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Вычислим интеграл \[\int_{n}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx\]
  Показать вычисление интеграла

  Интеграл равен: \[\int_{n}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx = \lim_{{b \to \infty}} \int_{n}^{b} x^{-3} dx\] \[= \lim_{{b \to \infty}} \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{n}^{b} = \lim_{{b \to \infty}} \left( \frac{-1}{2b^2} - \frac{-1}{2n^2} \right)\] \[= \lim_{{b \to \infty}} \left( \frac{1}{2n^2} - \frac{1}{2b^2} \right) = \frac{1}{2n^2}\]

• Шаг 2: Решим неравенство

  Нужно найти такое n, чтобы: \[\frac{1}{2n^2} < 10^{-6}\] \[2n^2 > 10^6\] \[n^2 > \frac{10^6}{2} = 5 \cdot 10^5\] \[n > \sqrt{5 \t\cdot 10^5} = \sqrt{5} \t\cdot 10^2 \t\cdot \sqrt{10} \approx 707.1\]

• Шаг 3: Округлим n до ближайшего целого числа.

  Поскольку n должно быть целым числом, берем ближайшее большее целое число. \[n > 707.1 \Rightarrow n = 708\]

Ответ: 708