Остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что углы АА1В1 и АВВ₁ равны.

Доказательство:

Рассмотрим четырёхугольник $$AB B_1 A_1$$. В нём \(\angle A = \angle B = 90^{\circ}\) (потому что $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — высоты).

Сумма противоположных углов четырёхугольника равна \( 180^{\circ}\) ($$\( \angle A + \angle B = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}\)$$). Значит, точки $$A, B, B_1, A_1$$ лежат на одной окружности (описывают окружность).

Углы $$A A_1 B_1$$ и $$A B B_1$$ являются вписанными углами, опирающимися на одну дугу $$AB_1$$. Следовательно, они равны.

Что и требовалось доказать.