16.9 Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. На его гипотенузу опустили высоту. В каком отношении она её делит (рис. 16.28)?

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с углом C = 90° и углом A = 30°. Пусть высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB, равна CH. Наша задача - найти отношение AH/HB. 1. В треугольнике ACH, угол A = 30°, а угол AHC = 90°. Следовательно, угол ACH = 90° - 30° = 60°. 2. В треугольнике BCH, угол BCH = 90° - угол ACH = 90° - 60° = 30°. 3. Обозначим длину гипотенузы AB = c. Пусть AH = x, тогда HB = c - x. 4. В прямоугольном треугольнике ACH: \(AH = AC \cdot cos(30^\circ) = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) 5. В прямоугольном треугольнике ABC: \(AC = AB \cdot cos(30^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) 6. Подставляем AC из (5) в (4): \(AH = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = c \cdot \frac{3}{4}\) 7. Итак, AH = \(\frac{3}{4}c\). Тогда HB = c - AH = c - \(\frac{3}{4}c\) = \(\frac{1}{4}c\). 8. Находим отношение AH/HB: \(\frac{AH}{HB} = \frac{\frac{3}{4}c}{\frac{1}{4}c} = \frac{3}{1}\) Таким образом, высота делит гипотенузу в отношении 3:1. **Ответ:** 3:1