Освободи знаменатель дроби от знака радикала. √a √a - 4√b Запиши в ответ разность полученного числителя и выражения 4√ab - a.

Привет! Давай разберёмся с этим заданием по алгебре.

Что нужно сделать:

1. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 4\sqrt{b}}$$.
2. Записать в ответ разность полученного числителя и выражения $$4\sqrt{ab} - a$$.

Шаг 1: Избавляемся от корня в знаменателе.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Сопряжённое выражение для $$(\sqrt{a} - 4\sqrt{b})$$ будет $$(\sqrt{a} + 4\sqrt{b})$$.

Умножаем:

\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 4\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} + 4\sqrt{b}}{\sqrt{a} + 4\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 4\sqrt{b})}{(\sqrt{a} - 4\sqrt{b})(\sqrt{a} + 4\sqrt{b})} \]

Считаем числитель:

\[ \sqrt{a}(\sqrt{a} + 4\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 + \sqrt{a} \cdot 4\sqrt{b} = a + 4\sqrt{ab} \]

Считаем знаменатель (используем формулу разности квадратов $$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2)$$:

\[ (\sqrt{a} - 4\sqrt{b})(\sqrt{a} + 4\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (4\sqrt{b})^2 = a - 16b \]

Получаем дробь:

\[ \frac{a + 4\sqrt{ab}}{a - 16b} \]

Шаг 2: Находим разность.

Теперь нужно найти разность полученного числителя ($$a + 4\sqrt{ab}$$) и выражения $$4\sqrt{ab} - a$$.

\[ (a + 4\sqrt{ab}) - (4\sqrt{ab} - a) \]

Раскрываем скобки:

\[ a + 4\sqrt{ab} - 4\sqrt{ab} + a \]

Складываем подобные члены:

\[ a + a + 4\sqrt{ab} - 4\sqrt{ab} = 2a \]

Ответ: $$2a$$