4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: a) 5/(3√10); б) 8/(√6+√2) 5. Докажите, что значение выражения 1/(2√7-1) - 1/(2√7+1)

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

a) $$ \frac{5}{3\sqrt{10}} $$

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{10}$$:

$$ \frac{5}{3\sqrt{10}} = \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{3\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{3 \cdot 10} = \frac{5\sqrt{10}}{30} = \frac{\sqrt{10}}{6} $$

Ответ: $$\frac{\sqrt{10}}{6}$$

б) $$ \frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} $$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $$\sqrt{6}-\sqrt{2}$$:

$$ \frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{8(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) $$

$$ 2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2} $$

Ответ: $$2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$$

5. Докажите, что значение выражения

$$ \frac{1}{2\sqrt{7}-1} - \frac{1}{2\sqrt{7}+1} $$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{2\sqrt{7}-1} - \frac{1}{2\sqrt{7}+1} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{7}+1)}{(2\sqrt{7}-1) \cdot (2\sqrt{7}+1)} - \frac{1 \cdot (2\sqrt{7}-1)}{(2\sqrt{7}+1) \cdot (2\sqrt{7}-1)} $$

$$ = \frac{2\sqrt{7}+1 - (2\sqrt{7}-1)}{(2\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{2\sqrt{7}+1 - 2\sqrt{7}+1}{4 \cdot 7 - 1} = \frac{2}{28 - 1} = \frac{2}{27} $$

Ответ: $$\frac{2}{27}$$