Освободите от знака корня в знаменателе a) \(\frac{10}{3\sqrt{5}}\; б) \(\frac{11}{2\sqrt{3}+1}\)

Решение:

Чтобы освободиться от знака корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение или на сам корень.

1. \(a)\) \(\frac{10}{3\sqrt{5}}\)
   

   Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\):

   
   \(\begin{align*}\) \(\label{eq:1}\) \(\frac{10}{3\sqrt{5}}\) &= \(\frac{10 \cdot \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}\) \\ &= \(\frac{10\sqrt{5}}{3 \cdot 5}\) \\ &= \(\frac{10\sqrt{5}}{15}\) \(\end{align*}\)
   

   Сократим дробь на 5:

   
   \(\begin{align*}\) \(\frac{10\sqrt{5}}{15}\) &= \(\frac{2\sqrt{5}}{3}\) \(\end{align*}\)
   
2. \(б)\) \(\frac{11}{2\sqrt{3}+1}\)
   

   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(2\sqrt{3}-1\):

   
   \(\begin{align*}\) \(\frac{11}{2\sqrt{3}+1}\) &= \(\frac\){11 \(\cdot\) \(2\sqrt{3}-1\)}{\(2\sqrt{3}+1\)\(2\sqrt{3}-1\)} \\ &= \(\frac\){11\(2\sqrt{3}-1\)}{\(2\sqrt{3}\)^2 - 1^2} \\ &= \(\frac\){11\(2\sqrt{3}-1\)}{4 \(\cdot\) 3 - 1} \\ &= \(\frac\){11\(2\sqrt{3}-1\)}{12 - 1} \\ &= \(\frac\){11\(2\sqrt{3}-1\)}{11} \(\end{align*}\)
   

   Сократим дробь на 11:

   
   \(\begin{align*}\) \(\frac\){11\(2\sqrt{3}-1\)}{11} &= 2\(\sqrt{3}\)-1 \(\end{align*}\)
   

Ответ: а) \(\frac{2\sqrt{5}}{3}\); б) \(2\sqrt{3}-1\).