426. Освободитесь от иррациона a) 1 ; B) √x - √ ; 15 e) 2√5+5

Для решения данных заданий необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого нужно умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю.

а)

$$ \frac{4}{\sqrt{3}+1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2} = 2(\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}-2 $$

Ответ: $$2\sqrt{3}-2$$

б)

$$ \frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1+\sqrt{2}}{-1} = -1-\sqrt{2} $$

Ответ: $$-1-\sqrt{2}$$

в)

$$ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y} $$

Ответ: $$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$$

г)

$$ \frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} $$

Ответ: $$\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$$

д)

$$ \frac{33}{7-3\sqrt{3}} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{(7-3\sqrt{3})(7+3\sqrt{3})} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49-9\cdot 3} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49-27} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{22} = \frac{3(7+3\sqrt{3})}{2} = \frac{21+9\sqrt{3}}{2} $$

Ответ: $$\frac{21+9\sqrt{3}}{2}$$

е)

$$ \frac{15}{2\sqrt{5}+5} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5}+5)(2\sqrt{5}-5)} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{4\cdot 5 - 25} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{20-25} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{-5} = -3(2\sqrt{5}-5) = -6\sqrt{5}+15 = 15-6\sqrt{5} $$

Ответ: $$15-6\sqrt{5}$$