Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1 / (sqrt(5) + 2)

Решение:

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженное выражение к \( \sqrt{5} + 2 \) равно \( \sqrt{5} - 2 \).

\( \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2) \cdot (\sqrt{5} - 2)} \)

Используем формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) в знаменателе:

\( (\sqrt{5} + 2) \cdot (\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1 \)

Теперь подставим полученное значение в дробь:

\( \frac{1 \cdot (\sqrt{5} - 2)}{1} = \sqrt{5} - 2 \)

Таким образом, дробь \( \frac{1}{\sqrt{5} + 2} \) после избавления от иррациональности в знаменателе равна \( \sqrt{5} - 2 \).

Ответ: \( \sqrt{5} - 2 \)