Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) (2 + √3)/(2 − √3); б) (√5 + √2)/(√5 − √2); в) (3 − √7)/(3 + √7); г) (1 − √a)/(1 + √a).

Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение.

1. \(\displaystyle \frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}=\frac{(2+\sqrt3)^2}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}=\frac{4+4\sqrt3+3}{4-3}=7+4\sqrt3.\)

2. \(\displaystyle \frac{\sqrt5+\sqrt2}{\sqrt5-\sqrt2}=\frac{(\sqrt5+\sqrt2)^2}{(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)}=\frac{5+2\sqrt{10}+2}{5-2}=\frac{7+2\sqrt{10}}{3}.\)

3. \(\displaystyle \frac{3-\sqrt7}{3+\sqrt7}=\frac{(3-\sqrt7)^2}{(3+\sqrt7)(3-\sqrt7)}=\frac{9-6\sqrt7+7}{9-7}=8-3\sqrt7.\)

4. \(\displaystyle \frac{1-\sqrt a}{1+\sqrt a}=\frac{(1-\sqrt a)^2}{(1+\sqrt a)(1-\sqrt a)}=\frac{1-2\sqrt a+a}{1-a}=\frac{1+a-2\sqrt a}{1-a}.\)

   Здесь \(a\ge 0\), а при \(a=1\) исходная дробь равна \(0\); полученная формула применяется при \(a\ne1\).

Ответ: а) \(7+4\sqrt3\); б) \(\displaystyle\frac{7+2\sqrt{10}}3\); в) \(8-3\sqrt7\); г) \(\displaystyle\frac{1+a-2\sqrt a}{1-a}\) при \(a\ne1\), а при \(a=1\) значение равно \(0\).