Освобождение от иррациональности в знаменателе

1. Пункт а) $$\frac{5}{3\sqrt{10}}$$

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{10}$$:

$$ \frac{5}{3\sqrt{10}} = \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{3\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{3 \cdot 10} = \frac{5\sqrt{10}}{30} $$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$$\frac{5\sqrt{10}}{30} = \frac{\sqrt{10}}{6}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{10}}{6}$$

2. Пункт б) $$\frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю, то есть на $$\sqrt{6} - \sqrt{2}$$:

$$ \frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})} $$

Применим формулу разности квадратов $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$ к знаменателю:

$$(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4$$

Тогда выражение примет вид:

$$ \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} $$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$$ \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) $$

Ответ: $$2(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$