439. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь ф ного радикала: a) √55+ √216; B) 17+ √288; 6) 86-√5460; r) √32-√1008.

Для решения данных задач необходимо воспользоваться формулой:

$$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$$

a) $$ \sqrt{55+\sqrt{216}}$$ В данном случае a = 55, b = 216.

Найдем:

$$a^2-b = 55^2-216 = 3025 - 216 = 2809$$ $$\sqrt{a^2-b} = \sqrt{2809} = 53$$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{55+53}{2}} + \sqrt{\frac{55-53}{2}} = \sqrt{\frac{108}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{54} + \sqrt{1} = \sqrt{9 \cdot 6} + 1 = 3\sqrt{6} + 1$$

Ответ: $$3\sqrt{6} + 1$$

б) $$\sqrt{86-\sqrt{5460}}$$ В данном случае a = 86, b = 5460.

Найдем:

$$a^2-b = 86^2-5460 = 7396 - 5460 = 1936$$ $$\sqrt{a^2-b} = \sqrt{1936} = 44$$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{86+44}{2}} - \sqrt{\frac{86-44}{2}} = \sqrt{\frac{130}{2}} - \sqrt{\frac{42}{2}} = \sqrt{65} - \sqrt{21}$$

Ответ: $$\sqrt{65} - \sqrt{21}$$

в) $$\sqrt{17+\sqrt{288}}$$ В данном случае a = 17, b = 288.

Найдем:

$$a^2-b = 17^2-288 = 289 - 288 = 1$$ $$\sqrt{a^2-b} = \sqrt{1} = 1$$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{17+1}{2}} + \sqrt{\frac{17-1}{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} + \sqrt{\frac{16}{2}} = \sqrt{9} + \sqrt{8} = 3 + \sqrt{4 \cdot 2} = 3 + 2\sqrt{2}$$

Ответ: $$3 + 2\sqrt{2}$$

г) $$\sqrt{32-\sqrt{1008}}$$ В данном случае a = 32, b = 1008.

Найдем:

$$a^2-b = 32^2-1008 = 1024 - 1008 = 16$$ $$\sqrt{a^2-b} = \sqrt{16} = 4$$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{32+4}{2}} - \sqrt{\frac{32-4}{2}} = \sqrt{\frac{36}{2}} - \sqrt{\frac{28}{2}} = \sqrt{18} - \sqrt{14} = \sqrt{9 \cdot 2} - \sqrt{14} = 3\sqrt{2} - \sqrt{14}$$

Ответ: $$3\sqrt{2} - \sqrt{14}$$