От куба отрезали угол (рис. 10.4). 1) Сколько граней у получившегося многогранника? Какую форму они имеют? Сколько у него вершин? Сколько рёбер? Сколько граней на этом рисунке не вид- но? А сколько вершин? 2) Начертите пятиугольную грань многогранника, если реб- ро куба 4 см, а разрез проходит через середины рёбер куба. 3) Как вы думаете, сколько граней будет у этого мно- гогранника, если отрезать ещё один угол?

Краткое пояснение:

Решение:

1. Анализ отрезания угла куба:
   Когда от куба отрезается угол, одна грань куба заменяется новой гранью (треугольной или пятиугольной, в зависимости от плоскости отрезания). При этом добавляются новые рёбра и вершины.
   
   1) Изменения при отрезании одного угла:
   
   • Грани: У куба было 6 граней. Отрезав один угол, мы срезаем часть одной грани, но плоскость среза создает новую грань. Таким образом, количество граней увеличивается на 1. Итого: 6 - 1 (срезанная часть) + 1 (новая грань) + 1 (грань, которая была) = 7 граней. Или проще: 6 граней куба + 1 новая грань от среза = 7 граней.
   • Вершины: У куба было 8 вершин. Отрезание угла «создает» новую вершину на месте среза. Таким образом, количество вершин увеличивается на 1. Итого: 8 - 1 (старая вершина, которая стала частью среза) + 3 (новые вершины, образованные на срезе) = 10 вершин. Или проще: 8 вершин куба + 3 новые вершины = 11 вершин.
   • Рёбра: У куба было 12 рёбер. Отрезание угла добавляет 3 новых ребра на месте среза, которые соединяют новые вершины. Итого: 12 + 3 = 15 рёбер.
   • Видимые грани: На рисунке, скорее всего, будет видно 3 грани куба, которые были «сре́заны», и 1 новая грань, образованная срезом. То есть, видимыми могут быть 4 грани.
   • Видимые вершины: Могут быть видны 3 вершины исходного куба, которые не были срезаны, и 3 новые вершины, образованные срезом.
2. 2) Начертите пятиугольную грань многогранника, если ребро куба 4 см, а разрез проходит через середины рёбер куба.
   Если разрез проходит через середины трех рёбер, выходящих из одной вершины, то получившаяся грань будет пятиугольником. Представьте, что вы срезаете вершину куба. Плоскость среза пересекает три ребра, выходящих из этой вершины, в их серединах. Каждое такое пересечение создает новую вершину на грани многогранника. Исходные три грани куба, к которым примыкает вершина, также будут иметь срезанные углы, и эти срезы образуют новые рёбра и вершины на гранях. Если плоскость среза проходит ровно через середины ребер, то получившаяся грань будет правильным пятиугольником. Для построения такого пятиугольника: выберите вершину куба, найдите середины трех выходящих из нее ребер. Эти три точки будут вершинами нового пятиугольника. Соедините их отрезками. Длина каждого такого отрезка будет равна длине средней линии треугольника, образованного двумя ребрами и диагональю грани куба. Если ребро куба 4 см, то диагональ грани равна \( 4√{2} \) см. Средняя линия будет \( 2√{2} \) см. На каждой из трех граней, примыкающих к срезанной вершине, образуется усеченный треугольник, который становится частью новой пятиугольной грани.
3. 3) Как вы думаете, сколько граней будет у этого многогранника, если отрезать ещё один угол?
   Если отрезать еще один угол, то количество граней увеличится еще на 1. Так как каждый отрезаемый угол добавляет одну новую грань. Итого: 7 (после первого среза) + 1 (новый срез) = 8 граней.

Примечание: Количество граней, вершин и рёбер может меняться в зависимости от того, как именно отрезается угол (например, плоскость среза может быть параллельна какой-либо грани или проходить через другие точки ребер).