От Нижнего Новгорода до Астрахани теплоход идет 5 суток, а обратно 7 суток. Сколько времени будут плыть плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, как скорость течения реки влияет на время движения теплохода в разные стороны. Обозначим скорость теплохода в стоячей воде как $$v_t$$, а скорость течения реки как $$v_r$$.

Когда теплоход плывет по течению (из Нижнего Новгорода в Астрахань), его скорость увеличивается на скорость течения реки, и время в пути составляет 5 суток. Когда теплоход плывет против течения (из Астрахани в Нижний Новгород), его скорость уменьшается на скорость течения реки, и время в пути составляет 7 суток.

Пусть расстояние между Нижним Новгородом и Астраханью равно $$S$$. Тогда мы можем записать два уравнения:

$$S = (v_t + v_r) cdot 5$$

$$S = (v_t - v_r) cdot 7$$

Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять эти выражения:

$$5(v_t + v_r) = 7(v_t - v_r)$$

Раскроем скобки:

$$5v_t + 5v_r = 7v_t - 7v_r$$

Перенесем члены с $$v_t$$ в одну сторону, а с $$v_r$$ в другую:

$$12v_r = 2v_t$$

Выразим скорость теплохода через скорость реки:

$$v_t = 6v_r$$

Теперь мы знаем, что скорость теплохода в 6 раз больше скорости течения реки. Нам нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние $$S$$. Плот плывет только со скоростью течения реки $$v_r$$. Выразим расстояние $$S$$ через скорость течения реки:

$$S = (6v_r + v_r) cdot 5 = 7v_r cdot 5 = 35v_r$$

Теперь найдем время $$t$$, за которое плот проплывет это расстояние:

$$t = \frac{S}{v_r} = \frac{35v_r}{v_r} = 35$$

Ответ: 35 суток