От пристани A до пристани B, расстояние между которыми 10 км, вниз по течению реки отправился плот. Через некоторое время вслед за ним отправился катер, который догнал плот через 15 мин и тут же, не меняя своей скорости, повернул обратно. Известно, что плот причалил к пристани B на 54 мин позже, чем катер к пристани A. Найдите собственную скорость катера и время движения плота до момента начала движения катера, если скорость течения реки 2 км/ч, а собственная скорость катера больше 10 км/ч.

Пусть \(v\) — собственная скорость катера, км/ч, а \(t\) — время движения плота до выхода катера, ч.

Скорость плота относительно берега равна 2 км/ч, скорость катера при движении вниз по течению — \(v+2\) км/ч.

Катер догнал плот через 15 мин, то есть через \(0.25\) ч. За это время катер прошёл до места встречи расстояние

\[x=0.25(v+2).\]

Плот прошёл то же расстояние за время \(t+0.25\):

\[2(t+0.25)=0.25(v+2).\]

Отсюда

\[t=\frac v8.\]

После встречи катер повернул обратно. Его скорость против течения равна \(v-2\) км/ч, поэтому время движения от места встречи до пристани A:

\[t_1=\frac{x}{v-2}=\frac{v+2}{4(v-2)}.\]

Плоту осталось пройти до пристани B расстояние \(10-x\), поэтому время его движения после встречи:

\[t_2=\frac{10-x}{2}=\frac{38-v}{8}.\]

Плот прибыл на 54 мин, или на \(0.9\) ч, позже катера:

\[\frac{38-v}{8}-\frac{v+2}{4(v-2)}=0.9.\]

После преобразований получаем:

\[5v^2-154v+328=0.\]

\[v=\frac{77\pm\sqrt{4289}}5.\]

Так как собственная скорость катера больше 10 км/ч, выбираем положительный подходящий корень:

\[v=\frac{77+\\sqrt{4289}}5\approx28.5\text{ км/ч}.\]

Время движения плота до выхода катера:

\[t=\frac v8\approx\frac{28.5}{8}\approx3.56\text{ ч}.\]

Это примерно 3 ч 34 мин.

Ответ: собственная скорость катера примерно 28,5 км/ч; плот двигался до выхода катера примерно 3 ч 34 мин.