От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 120 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход. Через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 10 км/ч большей отправился второй теплоход. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч. В ответе укажите только число. Если в ответе получилась дробь, то она должна быть записана в виде десятичной.

Решение:

Обозначим скорость первого теплохода как \( v \) км/ч. Тогда расстояние \( S = 120 \) км.

Время первого теплохода: \( t_1 = \frac{S}{v} = \frac{120}{v} \) часов.

Скорость второго теплохода: \( v + 10 \) км/ч.

Время второго теплохода: \( t_2 = \frac{S}{v+10} = \frac{120}{v+10} \) часов.

Второй теплоход отправился на 1 час позже, но прибыл одновременно с первым. Следовательно, время движения второго теплохода на 1 час меньше времени движения первого:

\( t_1 - t_2 = 1 \)

Подставим выражения для времени:

\( \frac{120}{v} - \frac{120}{v+10} = 1 \)

Умножим обе части уравнения на \( v(v+10) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( 120(v+10) - 120v = v(v+10) \)

Раскроем скобки:

\( 120v + 1200 - 120v = v^2 + 10v \)

Упростим:

\( 1200 = v^2 + 10v \)

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( v^2 + 10v - 1200 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70 \)

Найдём корни:

\( v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 70}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30 \)

\( v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 70}{2 \cdot 1} = \frac{-80}{2} = -40 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \( v = 30 \) км/ч.

Это скорость первого теплохода. Скорость второго теплохода на 10 км/ч больше:

\( 30 + 10 = 40 \) км/ч.

Проверим время:

Время первого теплохода: \( \frac{120}{30} = 4 \) часа.

Время второго теплохода: \( \frac{120}{40} = 3 \) часа.

Разница во времени: \( 4 - 3 = 1 \) час, что соответствует условию задачи.

Ответ: 40