От пристани около турбазы отправился в путь плот. Через 2 ч вдогонку отправилась моторная лодка, которая дошла до следующей пристани и сейчас же повернула обратно, вернувшись к первой пристани. К моменту возвращения лодки плот уже проделал путь в 20 км. Найди время, через которое лодка и плот встретились на обратном пути лодки, если расстояние между пристанями составляет 24 км, а скорость течения реки на этом участке составляет 5 км/ч.

Пусть t – время движения лодки от момента выхода из первой пристани до момента возвращения к ней.

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 5 км/ч. К моменту возвращения лодки к первой пристани плот проплыл 20 км, значит, время в пути плота составляет:

$$t_{плота} = \frac{20}{5} = 4 \text{ ч}$$

Лодка вышла на 2 часа позже плота, значит, время движения лодки:

$$t = t_{плота} - 2 = 4 - 2 = 2 \text{ ч}$$

Пусть x – собственная скорость лодки.

По течению лодка плыла 24 км, ее скорость при этом составляла x + 5 км/ч, значит, время движения лодки по течению:

$$t_1 = \frac{24}{x + 5}$$

Против течения лодка плыла 24 км, ее скорость при этом составляла x - 5 км/ч, значит, время движения лодки против течения:

$$t_2 = \frac{24}{x - 5}$$

Общее время движения лодки (по течению и против) равно 2 часа:

$$\frac{24}{x + 5} + \frac{24}{x - 5} = 2$$

Решаем уравнение:

$$24(x - 5) + 24(x + 5) = 2(x^2 - 25)$$ $$24x - 120 + 24x + 120 = 2x^2 - 50$$ $$48x = 2x^2 - 50$$ $$2x^2 - 48x - 50 = 0$$ $$x^2 - 24x - 25 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$$ $$x_1 = \frac{24 + \sqrt{676}}{2} = \frac{24 + 26}{2} = 25$$ $$x_2 = \frac{24 - \sqrt{676}}{2} = \frac{24 - 26}{2} = -1$$

Отрицательный корень не имеет смысла, значит, собственная скорость лодки равна 25 км/ч.

Теперь найдем, через какое время после выхода из пункта B лодка встретится с плотом. Пусть t – время, которое прошло от момента отплытия лодки из пункта B до момента встречи. К этому моменту плот проплыл от пункта B расстояние 5t, а лодка проплыла расстояние (25 - 5)t = 20t. Вместе они проплыли 24 км:

$$5t + 20t = 24$$ $$25t = 24$$ $$t = \frac{24}{25} = 0.96 \text{ ч}$$

Ответ: 0.96