От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение:

Пусть данная треугольная пирамида имеет объем \( V \). Высота пирамиды \( H \). Площадь основания \( S \).

Отсеченная треугольная пирамида подобна исходной. Плоскость проходит через вершину и среднюю линию основания. Это значит, что высота отсеченной пирамиды \( h \) составляет половину высоты исходной пирамиды: \( h = \frac{1}{2}H \).

Площадь основания отсеченной пирамиды \( s \) связана с площадью основания исходной пирамиды \( S \) отношением квадратов соответствующих линейных размеров. Так как средняя линия основания в 2 раза меньше основания, то площадь основания отсеченной пирамиды будет в 4 раза меньше: \( s = \frac{1}{4}S \).

Объем отсеченной пирамиды \( v \) равен:

\[ v = \frac{1}{3}sh \]

Подставим выражения для \( s \) и \( h \):

\[ v = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4}S \right) \left( \frac{1}{2}H \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{3}SH \right) \]

Так как \( V = \frac{1}{3}SH \) — объем исходной пирамиды, то:

\[ v = \frac{1}{8}V \]

По условию, объем исходной пирамиды \( V = 12 \) куб. ед.

\[ v = \frac{1}{8} \times 12 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Ответ: 1.5