От треугольной пирамиды, объём которой равен 24, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

Пусть дана треугольная пирамида (SABC), объем которой (V = 24). Плоскость проходит через вершину (S) и среднюю линию (MN) основания (ABC), где (M) и (N) - середины сторон (AB) и (BC) соответственно. Требуется найти объем отсеченной пирамиды (SAMN). 1. Объем пирамиды: Объем пирамиды вычисляется по формуле: (V = \frac{1}{3} cdot S_{осн} cdot h), где (S_{осн}) - площадь основания, (h) - высота. 2. Отношение площадей оснований: Площадь треугольника (AMN) составляет (\frac{1}{4}) площади треугольника (ABC), так как (MN) - средняя линия треугольника (ABC). (S_{AMN} = \frac{1}{4} S_{ABC}) 3. Отношение объемов: Поскольку отсеченная пирамида (SAMN) и исходная пирамида (SABC) имеют общую высоту (h), то отношение их объемов равно отношению площадей их оснований: \[\frac{V_{SAMN}}{V_{SABC}} = \frac{\frac{1}{3} S_{AMN} h}{\frac{1}{3} S_{ABC} h} = \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}\] 4. Нахождение объема отсеченной пирамиды: (V_{SAMN} = \frac{1}{4} V_{SABC}) (V_{SAMN} = \frac{1}{4} cdot 24 = 6) Ответ: Объем отсеченной треугольной пирамиды равен 6.