1. От треугольной пирамиды, объём которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды. 2. Объём куба равен 32. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины. 3. Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 5. Найдите объём призмы. 4. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такая же, как сегодня. Сегодня 3 июля, и погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. 5. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что, хотя бы один автомат исправен. 6. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,6. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. 7. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах. 8. В правильной треугольной пирамиде SABC точка Р делит сторону АВ в отношении 2: 3 считая от вершины А, точка К – делит сторону ВС в отношении 2: 3 считая от вершины С. Через точки Р и К параллельно SB проведена плоскость а. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью а является прямоугольником. б) Найдите расстояние от точки S до плоскости а, если известно, что SC = 5, AC = 6. 9. Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке К. Сечение пирамиды плоскостью а является правильным треугольником площадью 4√3. а) Докажите, что плоскость а перпендикулярна прямой АС. б) В каком отношении точка К делит ребро SA, считая от вершины Ѕ, если объем пирамиды равен 18√3.