Отложить от данного луча угол, равный данному.

Для решения данной задачи необходимо построить угол, равный данному, от заданного луча. Решение представлено ниже.

1. Дано:
   • Угол с вершиной A и луч OM.
2. Требуется построить угол, равный углу A, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом OM.
3. Построение:
   • Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине A данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках B и C (рис. 85, а).
   • Затем проведём окружность того же радиуса с центром в начале данного луча OM. Она пересекает луч в точке D (рис. 85, б).
   • После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен BC.
   • Окружности с центрами O и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой E.
   • Угол MOE – искомый.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и ODE. Отрезки AB и AC являются радиусами окружности с центром A, а отрезки OD и OE – радиусами окружности с центром O (см. рис. 85, б). Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то AB = OD, AC = OE. Также по построению BC = DE.

Следовательно, ΔABC = ΔODE по трём сторонам. Поэтому ∠DOE = ∠BAC, т. е. построенный угол MOE равен данному углу A.

Ответ: Угол MOE построен.