Отметь промежуток на оси х, где выполняется неравенство -x²-2x-1<0

Решение:

Чтобы найти промежуток, где выполняется неравенство \( -x^2 - 2x - 1 < 0 \), нужно найти корни соответствующего уравнения \( -x^2 - 2x - 1 = 0 \).

1. Умножим уравнение на \( -1 \), чтобы получить более удобный вид: \( x^2 + 2x + 1 = 0 \).
2. Это квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 1 \).
3. Вычислим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \).
4. Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень.
5. Найдём корень по формуле: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1 \).

Полученное уравнение \( x^2 + 2x + 1 = 0 \) можно также записать как \( (x+1)^2 = 0 \), откуда \( x = -1 \).

Исходное неравенство \( -x^2 - 2x - 1 < 0 \) равносильно \( -(x+1)^2 < 0 \).

Квадрат любого числа \( (x+1)^2 \) неотрицателен, то есть \( (x+1)^2 \ge 0 \) для любого \( x \).

Следовательно, \( -(x+1)^2 \le 0 \) для любого \( x \).

Неравенство \( -(x+1)^2 < 0 \) выполняется для всех \( x \), кроме того значения, при котором \( -(x+1)^2 = 0 \). Это значение \( x = -1 \).

Таким образом, неравенство \( -x^2 - 2x - 1 < 0 \) выполняется для всех \( x \), кроме \( x = -1 \).

На оси х это будет промежуток от \( -∞ \) до \( -1 \) и от \( -1 \) до \( +∞ \).

Изображение графика показывает, что парабола \( y = -x^2 - 2x - 1 \) касается оси x в точке \( x = -1 \), а ниже оси x находится для всех остальных значений \( x \).

Ответ: \( x \in (-∞; -1) \cup (-1; +∞) \).