Отметь точки последовательности \( a_n = -\frac{2}{n} \)

Решение:

Последовательность \( a_n = -\frac{2}{n} \) является монотонно возрастающей, так как при увеличении \( n \) значение \( -\frac{2}{n} \) становится ближе к нулю.

Рассмотрим предложенные интервалы:

• Для \( n = 3 \): \( a_3 = -\frac{2}{3} \). Интервал \( [-\frac{2}{3}; 0] \) содержит это значение.
• Для \( n = 5 \): \( a_5 = -\frac{2}{5} \). Интервал \( [-\frac{2}{5}; 0] \) содержит это значение.
• Для \( n = 90 \): \( a_{90} = -\frac{2}{90} \). Интервал \( [-\frac{2}{90}; 0] \) содержит это значение.
• Для \( n = N \): \( a_N = -\frac{2}{N} \). Интервал \( [-\frac{2}{N}; 0] \) содержит это значение.

Все утверждения верны, так как для любого \( n \) значение \( a_n = -\frac{2}{n} \) находится в интервале \( [-\frac{2}{n}; 0] \), а также в любом интервале \( [-\frac{2}{k}; 0] \) где \( k \le n \) и \( k > 0 \).

Найдём предел последовательности:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} -\frac{2}{n} \)

При \( n \) стремящемся к бесконечности, \( \frac{2}{n} \) стремится к нулю. Следовательно:

\[ \lim_{n \to \infty} -\frac{2}{n} = 0 \]

Ответ: 0